Так как многочлен Xn— 1 должен делиться на многочлен g(X), то элементы ось «2, «R должны быть корнями многочлена Хn— 1, и, следовательно, число n должно делиться на порядок каждого из элементов cu. Таким образом, п можно выбирать равным наименьшему общему кратному порядков элементов oci, так как при таком выборе п каждый элемент at является корнем многочлена Хп—1, и в соответствии с утверждением теоремы 6.16 этот многочлен делится на g(X) без остатка.
Если корни задаются как степени одного и того же элемента а
порядка е, т. е. если установлено, что аг = а"1'
, где m — заданные
целые числа, то число сомножителей и степень каждого из них в
разложении многочлена g(X) для целых е и щ могут быть найдены
по следующей схеме. По теореме 6.26 все корни минимальной
функции nii(X) содержатся в последовательности, так что все корни Mg(Х)—различные элементы этой последовательности. Показатели степеней в этой последовательности — различные вычеты по модулю е чисел m, Uiq, utq2, Uiqs, и число различных вычетов равно степени гг- минимальной функции mi(X). Вполне возможно, что элементы а"г и аа1 имеют одну и ту же минимальную функцию т€ (X) = т, (X). В этом случае совокупности корней функции т^Х) и т5{Х) будут совпадать и в качестве сомножителя в разложении многочлена g{X) следует взять только одну из этих функций. Совокупность показателей, связанных с многочленом nii(X), называется циклическим множеством этого многочлена.
НОК — наибольшее общее кратное. — Прим. ред.
Пример. Код, рассмотренный в предыдущем примере, можно определить условием, чтобы каждый кодовый многочлен содержал среди своих корней любой корень а многочлена X3 + X2 -f- 1
. С другой стороны, предположим, что известно только, что каждый кодовый многочлен должен содержать среди своих корней а некоторый примитивный элемент поля GF(23). Все примитивные элементы поля GF(23) являются корнями либо многочлена Х3 + + A'2-f-l, либо многочлена Xs-{• Х-\- 1. Поэтому искомый код—: это либо код, рассмотренный в предыдущем примере, либо эквивалентный ему код, порождаемый многочленом.
Код, корнями каждого кодового вектора которого являются единица и а — корень многочлена Xs-\- X2-\- I —
порождается многочленом g (X) = {X — 1) (X3 + X2 + 1)
.
Пример. Рассмотрим менее тривиальный пример. Пусть р=<х89
, где а —примитивный элемент GF(2n). Исследуем двоичный код, для которого В, В2, Р3 и р4 — корни всех кодовых многочленов. Так как 89X23 = 2 —1> то Р23=1
. Пусть т(Х)—минимальная функция для р. Тогда корни многочлена т(Х) образуют последовательность
р, р2, р4, ре, р16, р32=р9, р», р36 = р13, р26 = р3, р6, р12, (р24 = р).
|
Главная
Каталог файлов
