Пусть задана последовательность
So, Si> S2, ...,
и
k h {X) = Е h,X'.
Обозначим через Хи Х2, ..., Xh корни многочлена h (X) в расширении поля, в котором к(Х) может быть разложен на множители. Тогда в соответствии с соотношением (7.8), если заданная последовательность S0, Si, ..., Ss удовлетворяет рекуррентным соотношениям (7.2), существуют величины Уь У2, Уь, такие, что
ZYiXJ = S0, ЈYtX\ = Si, t,YtXi = Ss. (7.24)
i = l i = l i = l
В этих соотношениях S0, Su Ss заданы, a Ij и У( могут рассматриваться как неизвестные. Разрешая эти соотношения при минимальном k относительно Xi и Yit можно затем восстановить полностью последовательность S0, Slt Ss, Ss+l, используя формулу
Sj = N YiX.
После этого уже известными методами может быть синтезирована схема с этой последовательностью в качестве импульсного отклика или синтезирован генератор с регистром сдвига и этой последовательностью в качестве последовательности на выходе. Знаменатель передаточной функции будет равен h(D), где Л(у) = = (X — Xi) {X — Х2) ... {X — Xh), и степень его будет минимальной.
Остается лишь вопрос о том, как решать нелинейные уравнения (7.24). Как ни странно, эти уравнения совпадают с уравнениями, которые используются при исправлении ошибок для БЧХ-кодов. Методы решения этих уравнений описываются в разд. 9.4—9.7.
При заданном входе новая схема будет давать тот же самый выходной сигнал, что и старая, хотя внутренние соединения и векторы состояний схемы будут отличаться. При этом матрицы новой схемы выражаются через матрицы старой:
Т' = А~'ТА, U'=UA, R' = A"'R, S'=S. (7.33)
Соотношение между матрицами Т и Т', задаваемое равенствами (7.33), очень важно для дальнейшего изложения. Матрицы Т и Т', связанные равенством Т' = А_1ТА, называются подобными матрицами.
Соответствующая схема показана на фиг. 7.19. Она может быть использована для деления многочленов, так же как схема, изображенная на фиг. 7.7. Результат будет правильным, поскольку выходы обеих схем совпадают. Однако содержимое ячеек памяти после окончания деления не будет остатком от деления, поскольку, как показывают соотношения (7.30), символы, содержащиеся в ячейках памяти в этих двух системах, не совпадают.
Рассмотрим теперь поведение схемы с нулевым входом, которое иногда называют ее поведением в автономном режиме. В этом случае UJ = 0, и из равенства (7.25) следует, что V^+I = V,T, Vi+2 = VJ+IT = VJT2 и вообще
V,+/ = V,T'. (7.34)
Известно, что любая квадратная матрица размерности г X f обращает в нуль свой минимальный многочлен, являющийся многочленом степени, не превосходящей г, с коэффициентами из того же поля [7, стр. 83; 23, стр. 215; 193, стр. 77]. Следовательно, существует многочлен m(X) = msXs -f- ms-\Xs-x + ... -\-m\X-\- т0, такой, что
т(Т) — msTs + ms-{fs~'1 + ... -{-щ — О.
Отсюда получаем
ms\iT -f т^у.-Т5-1 + • • • 4- m0Vi = 0,
или
tnsvl+s + nis-iVi+s-i + ... 4- Щ\1 = 0. (7.35)
Итак, каждая из компонент вектора V, (т. е. символы, последовательно появляющиеся в одной из ячеек) удовлетворяет однородному разностному уравнению, а именно уравнению (7.35). Выходная последовательность есть линейная комбинация символов, содержащихся в ячейках схемы, и поэтому она также является решением уравнения (7.35). Решения этого уравнения полностью описываются теоремой 7.1 из разд. 7.4. |
Главная
Каталог файлов
